Курс лекций. Уравнение энергии в тепловой форме

Изменение потенциальной энергии уровня g(z 1 -z 2 ) в задачах, связанных с расчетом теплоэнергетических машин или установок, как правило, составляет пренебрежимо малую величину по сравнению с другими членами уравнения энергии. Оно обычно не превышает 50…100 м 2 /сек 2 , тогда как другие члены имеют порядок 10 000…100 000 м 2 /сек 2 . Поэтому во всех дальнейших рассуждениях и расчетах величина g(z 1 -z 2 ) будет отброшена. Однако, нужно обратить внимание на задачи такого рода, как расчет вентиляционных систем шахт, в которых изменение потенциальной энергии уровня весьма велико и может превышать значения других членов уравнения энергии. В этих случаях величина g(z 1 -z 2 ) должна учитываться обязательно.

Уравнению энергии можно придать другую, во многих случаях более удобную для расчетов форму . Преобразуем сумму членов

C v (T 1 -Т 2) +p 1 /ρ 1 -p 2 /ρ 2 = (C v T 1 +p 1 /ρ 1) -(C v T 2 +p 2 /ρ 2)=

=(C v T 1 +RT 1) -(C v T 2 + RT 2)= (C v +R)(T 1 -Т 2) = C p (T 1 -Т 2) ,

используя известное из термодинамики соотношение C p –C v =R , и подставим полученное выражение в уравнение (2.3). Тогда уравнение энергии можно записать более компактно

C p (T 1 -Т 2) + (w 1 2 - w 2 2)/2 + Q е - L = 0, (2.4)

а главное, три термодинамических параметра p, ρ и T теперь можно заменить всего лишь одним – энтальпией h=C р Т . («Три в одном»!)

(2.5)

Этот вид уравнения энергии называют еще уравнением энтальпии или теплосодержания , так как в него входит энтальпия h.

В уравнении энергии принято следующее правило знаков. Подведенное внешнее тепло считается положительным, а отведенное - отрицательным; работа, совершенная газом и отведенная к внешнему потребителю, - положительной, а подведенная к газу извне и затраченная на его сжатие - отрицательной. Таким образом, в нагревателе газа (камере сгорания) тепло считается положительным , в охладителе - отрицательным ; работа , получаемая в турбине , - положительной , а затрачиваемая на вращение компрессора - отрицательной . Это правило знаков согласуется с уравнением первого закона термодинамики .

Уравнение энергии часто применяется в дифференциальной форме . Чтобы получить его в этой форме, воспользуемся таким приемом. Будем мысленно приближать второе сечение к первому, уменьшая длину расчетного участка до бесконечно малой величины . Тогда в пределе получим вместо Q е и L соответственно dQ е и dL , авместо конечных разностейТ 1 –Т 2 и (w 1 2 - w 2 2)/2 получим соответствующие дифференциалы –dТ и – d(w 2 /2) .

В последних двух выражениях знак минус появился потому, что берутся бесконечно малые разности T 1 -Т 2 и (w 1 2 - w 2 2)/2 , а не T 2 -Т 1 и (w 2 2 - w 1 2)/2 .

Подставив это в уравнение энергии (2.4) и поменяв знаки на обратные , получим уравнение энергии в дифференциальной форме или дифференциальное уравнение энергии

(2.6)

Если сопоставить выражение для полного запаса энергии (2.2)

E= u + p/ρ + w 2 /2 + gz,

с левой частью уравнения Бернулли , которая также представляет величину полного запаса энергии единицы массы несжимаемой жидкости

p/ρ + w 2 /2 + gz = const,

то можно заметить, что в случае газа дополнительно введена величина внутренней энергии u. Это объясняется тем, что при ρ≠соnst тепловые процессы оказывают влияние на плотность газа, и так как его расширение или сжатие связано с работой, то в конечном итоге это влияние распространяется на механические составляющие энергии. Таким образом, в уравнениях энергии (2.4) и (2.5) присутствуют величины, имеющие как механическое , так и тепловое (калорическое) происхождение.

Еще одной разновидностью уравнения энергии является обобщенное уравнение Бернулли для газа . От уравнений (2.4) или (2.5) оно отличается тем, что все входящие в него слагаемые имеют механическое происхождение . Это уравнение можно получить следующим путем. Воспользуемся тем же самым приемом, с помощью которого выше было получено дифференциальное уравнение энергии (2.6) и представим уравнение (2.3) в дифференциальном виде :

(2.7)

Количество тепла Q , воспринимаемое газом , и количество теплаQ е , подводимое к нему извне , в общем случае не одинаковы : существует еще теплота тренияQ r , которая выделяется вследствие трения газа о стенки, внутреннего трения (возникающего между слоями, движущимися с разными скоростями), образования вихрей и т.п. Это тепло также воспринимается газом . Поэтому

Q = Q е + Q r = Q е + L r . (2.8)

dQ е = dQ – dL r , (2.9)

где L r - работа трения (в системе единиц СИ Q r =L r ).

Количество тепла, воспринимаемое газом , можно определить с помощью уравнения первого закона термодинамики

dQ = C v dT + pdv. (2.10)

Подставив это выражение в формулу (2.9), получим

C v dT = dQ e + dL r -pdv. (2.11)

Кроме того,

d(p/ρ)=d(pv)=pdv+vdp/. (2.12)

После подстановки формул (2.11) и (2.12) в уравнение энергии (2.7) и замены удельного объема через плотность v=1/ρ получаем уравнение Бернулли для газа в дифференциальной форме

dp/ρ+d(w 2 /2)+dL+dL r =0. (2.13)

При решении конкретных задач уравнение Бернулли интегрируют в пределах от начального сечения расчетного участка до конечного

(2.14)

Если в процессе решения нужно получить параметры потока в каком-нибудь промежуточном сечении расчетного участка, то при интегрировании это сечение принимается за конечное. При решении можно брать неопределенный интеграл. Константа интегрирования определяется тогда из граничных условий, в качестве которых обычно берут условия на входе в расчетный участок.

Для того чтобы вычислить ∫(dp/ρ) , надо знать зависимость между р и ρ , т.е. иметь уравнение термодинамического процесса, при котором происходит течение газа, например уравнение политропы p/ρ n =const . Если известен термодинамический процесс, то известен и показатель политропы. При политропном процессе интегрирование дает

при изотермном процессе (n=1 )

1 2 ∫(dp/ρ)=(p 1 /ρ 1)ℓn(p 2 /p 1)=RT 1 ℓn(p 2 /p 1). (2.16)

Сопоставляя между собой уравнение энергии и уравнение Бернулли , например (2.4) и (2.14), можно заметить, что первое учитывает внешнее тепло, но не содержит работы трения в явном виде, тогда как второе не содержит в явном виде внешнего тепла, но учитывает работу трения. Поэтому создается впечатление, что эти уравнения не учитывают всех особенностей течения. В действительности это не так. Хотя работа трения и не входит явно в уравнение энергии, но ее влияние сказывается, прежде всего, на температуре Т 2 .

Что касается уравнения Бернулли, то в нем внешнее тепло учитывается при вычислении ∫(dp/ρ) , а именно, от количества подведенного тепла зависит величина показателя политропы n .

Рассмотрим уравнения энергии для частных случаев течения газа .

Адиабатное ( или адиабатическое ) течение . Такое течение происходит без внешнего подвода или отвода тепла , т.е. Q е =0 . Относительно внутреннего теплоподвода (тепла трения Q r ) никаких оговорок не делается, т.е. оно либо присутствует, либо равно нулю. Уравнение энергии в этом случае имеет вид:

(2.17)

а уравнение Бернулли сохраняет форму (2.14)

1 2 ∫(dp/ρ)+(w 2 2 - w 1 2)/2 + L+ L r =0.

Уравнение (2.17) имеет большое значение в экспериментальной практике. Им пользуются, например, при экспериментальном определении работы турбины или компрессора, когда непосредственное определение мощности по крутящему моменту и числу оборотов затруднительно по техническим причинам. Для этого необходимо только измерить температуры и скорости газа на входе в машину и выходе из нее и произвести вычисление по формуле (2.17). Заметим, что практически дело обстоит еще проще. Измеряются не температуры газа и скорости раздельно, а температуры торможения .

Энергоизолированное течение . Такое течение происходит без внешнего теплообмена (Q е =0 ) и без подвода или отвода внешней механической работы (L=0 ), т.е. без обмена энергией с внешней средой на участке между входным и выходным сечением. Уравнение энергии для энергоизолированного течения записывается так:

(2.18)

C p T 1 + w 1 2 /2 = C p Т 2 + w 2 2 /2. (2.19)

Смысл последнего равенства состоит в том, что при энергоизолированном течении полный запас энергии единицы массы газа остается неизменным, так как на расчетном участке энергия извне не подводится и не отводится во внешнюю среду.

Уравнение Бернулли для этого вида течения приобретает вид:

1 2 ∫(dp/ρ)+(w 2 2 - w 1 2)/2 + L r =0. (2.20)

Моделью энергоизолированного потока пользуются при расчете диффузоров, неохлаждаемых сопел и других неподвижных каналов, в которых теплообмен с внешней средой пренебрежимо мал.

Изоэнтропное (или изоэнтропийное или изоэнтропическое ) течение . Такое течение происходит при постоянной энтропии S=соnst . Для постоянства энтропии необходимо выдержать условие Q=0 . Из формулы (2.8) следует, что это может быть при Q е =0,Q r =0 или при Q е = – Q r . Второй случай предусматривает теплоотвод во внешнюю среду, в точности равный теплоподводу от трения. Такой точный тепловой баланс редко может встречаться в практике, а потому здесь не рассматривается. Таким образом, можно считать, что течение будет изоэнтропным в том случае, если отсутствует трение и внешний теплообмен . Для этого вида течения уравнение энергии записывается так же, как и для адиабатного течения (см. формулу (2.17))

C p (T 1 -Т 2) + (w 1 2 - w 2 2)/2 - L = 0,

а уравнение Бернулли имеет вид:

1 2 ∫(dp/ρ)+(w 2 2 - w 1 2)/2 + L=0. (2.21)

При вычислении интеграла здесь нужно иметь в виду, что р и ρ связаны уравнением изоэнтропы p/ρ k =const . Моделью изоэнтропного потока пользуются при теоретических расчетах и исследованиях идеальных компрессоров и турбин.

Энергоизолированное изоэнтропное течение . Такое течение происходит без энергетического обмена с внешней средой (Qе=0, L=0 ) и без трения (Lr=Qr=0 ). При этом автоматически соблюдаются условия изоэнтропности (изоэнтропийности ) процесса. Уравнение энергии имеет тот же вид, что и для энергоизолированного течения (2.18) или (2.19)

C p (T 1 -Т 2) + (w 1 2 - w 2 2)/2 = 0,

C p T 1 + w 1 2 /2 = C p Т 2 + w 2 2 /2,

а уравнение Бернулли записывается так:

1 2 ∫(dp/ρ)+(w 2 2 - w 1 2)/2 =0. (2.22)

Здесь также при вычислении интеграла связь между давлением и плотностью устанавливается уравнением изоэнтропы . Этот частный случай применяется довольно широко. Например, в теоретической газодинамике большинство задач рассматривается в предположении именно такого вида течения .

В дифференциальной форме уравнения (2.18) и (2.22) имеют следующий вид:

C p dT + d(w 2 /2) = 0, (2.23)

dp/ρ + d(w 2 /2) = 0. (2.24)

Рассмотрим еще две весьма употребительных формы записи уравнения Бернулли для энергоизолированного изоэнтропного течения . Интегрируя уравнение (2.24), имеем

∫(dp/ρ) + w 2 /2 = const.

Используя уравнение изоэнтропы

p/ρ k = B = const,

и следующие очевидные соотношения

ρ k = (p/B); ρ = (p/B) 1/ k ; B 1/ k = (p/ρ k) 1/ k =p 1/ k /ρ;

найдем значение интеграла

∫(dp/ρ) =∫(dp/(p/B) 1/ k)= B 1/ k ∫(dp/p 1/ k)= B 1/ k ∫p -1/ k dp=

= B 1/k p (1-1/k) /(1-1/k)= p 1/k ∙ p (1-1/k) ∙ k/ρ∙(k-1) =

=(k/(k-1))(p 1/k ∙ p (k-1)/k /ρ) = (k/(k-1)) p/ρ.

и, подставив его в предыдущее уравнение, получим

(k/(k-1)) p/ρ + w 2 /2 = const. (2.25)

Если сопоставить уравнение (2.25) с уравнением Бернулли для горизонтального течения идеальной несжимаемой жидкости

p/ρ + w 2 /2 = const,

то можно заметить, что они отличаются только первым слагаемым: для газа коэффициент, стоящий перед p/ρ равен k/(k-1) тогда как для несжимаемой жидкости он равен 1 . Таким образом, величина k/(k-1) учитывает влияние сжимаемости .

Если воспользоваться соотношением, с помощью которого определяется скорость распространения звука a 2 = kRT= kp/ρ , и преобразовать первое слагаемое уравнения (2.25), то последнее приобретает вид:

a/(k-1) + w 2 /2 = const. (2.26)

Эта форма записи уравнения Бернулли широко применяется в теоретической газодинамике .

G p/ρ k =const. p/ρ = RT. a= √kRT. a 2 = kRT= kp/ρ.

Е 1 - Е 2 + Q е - L = 0. E= u + p/ρ + w 2 /2 + gz.

C v (T 1 -Т 2) +p 1 /ρ 1 -p 2 /ρ 2 +(w 1 2 - w 2 2)/2+g(z 1 -z 2) +Q е -L= 0.

C v dT + d(p/ρ) + d(w 2 /2) - dQ е + dL = 0.

C p (T 1 -Т 2) + (w 1 2 - w 2 2)/2 + Q е - L = 0.

h 1 -h 2 + (w 1 2 - w 2 2)/2 + Q е - L = 0.

C p dT + d(w 2 /2) - dQ е + dL = 0.

dp/ρ+d(w 2 /2)+dL+dL r =0.

(k/(k-1)) p/ρ + w 2 /2 = const. a/(k-1) + w 2 /2 = const.

p/ρ + w 2 /2 = const.

Баланс энергии можно составить для любой схемы течения. Пример с газотурбинной установкой взят потому, что в нем присутствуют все составляющие энергетического баланса, рассматриваемые в газодина­ми­ческих задачах.

Необходимо заметить, что это уравнение было получено в наши дни. Имя Даниила Бернулли ему присвоено потому, что оно является обобщением известного в гидродинамике уравнения Бернулли на случай течения газа.

Берется неопределенный интеграл.

Полная энергия единицы массы пласта состоит из отнесенных к единице массы внутренней удельной энергии пород пласта и насыщающих его веществ , удельной потенциальной и кинетической энергии веществ, движущихся в пласте со скоростью . Поэтому

Из закона сохранения энергии или, точнее, из первого начала термодинамики следует, что изменение энергии пласта и произведенной удельной работы равно количеству подведенного к пласту тепла ,умноженного на механический эквивалент тепла , т. е.

или с учетом (3.17)

Дадим количественную оценку входящих в (3.19) величин. Удельная внутренняя энергия пласта при отсутствии в нем химических или ядерных превращений вещества представляет собой тепловую энергию в единице массы пласта, так что

где - удельная теплоемкость пласта; Т - температура. Положим, что пористый пласт насыщен водой. Тогда ( - удельная теплоемкость пород пласта; - удельная теплоемкость воды, - пористость). Пусть = 1,046 кДж/(кг×К), = 4,184 кДж/(кг. К), , . Тогда , =102×1,67×1=170 м. Удельная потенциальная энергия в пластах может изменяться в соответствии с возможными изменениями уровня движущихся в пласте веществ. Обычно это десятки и иногда сотни метров.

где - плотность горных пород; - плотность насыщающих пласт веществ, и умножать все виды удельной энергии, кроме внутренней, на . При , , .

Тогда для изменения удельной кинетической энергии получим

Из приведенной оценки следует, что удельной кинетической энергией движущихся в пласте веществ можно всегда, кроме особых случаев движения веществ в призабойной зоне скважин, пренебречь.

Если изменение удельной потенциальной энергии движущегося в пласте вещества составляет даже 100 м, то при умножении этой величины на получим 10 м. Изменение же температуры пласта всего на один градус равнозначно изменению удельной внутренней энергии почти на 200 м. Если разработка пласта ведется с использованием тепловых методов, то температура пласта может изменяться на сотни градусов и его удельная внутренняя энергия станет преобладающей среди других видов энергии. Оценим возможную величину работы, которую могут производить насыщающие пласт вещества. Удельную работу ,. производимую насыщающим пласт веществом и отнесенную к единице массы вещества, определим следующим образом:

где - давление; - объем вещества, насыщающего пласт в элементарном объеме пласта; - плотность этого вещества; - ускорение свободного падения.

Поровый объем пласта остается, вообще говоря, неизменным, поскольку не изменяются геометрия пласта и его пористость. Работа вещества в пласте связана всегда с его расширением. Поэтому в (3.21) и введена величина , характеризующая расширение вещества. При этом условно можно считать, что вещество, насыщающее пласт, расширяясь, как бы выходит за пределы элементарного объема пласта. Будем считать, что при бесконечно малом расширении вещества в элементарном объеме пласта масса вещества остается неизменной.

Тогда и, следовательно,

Подставляя (3.22) в (3.21) получим

Оценим возможную работу вещества, насыщающего пласт. Очевидно, что наибольшую работу может производить в пласте газ. Для простоты оценки будем считать газ идеальным, для которого , где и - давление и плотность газа при начальных условиях. Отсюда для идеального газа

Пусть при снижении давления , , , ,

Сделанная оценка показывает, что работа вещества, насыщающего пласт, хотя и намного меньше, чем изменение удельной внутренней энергии при тепловых методах разработки нефтяных месторождений, все же при определенных условиях„ как это показывает опыт, может быть значительной.

Рассмотрим вопрос о том, чему равняется входящая в (3.18) и (3.19) величина . Тепловыделение в элементе пласта может происходить за счет экзотермических химических реакций и гидравлического трения и за счет теплопроводности. Уход тепла из элемента пласта за счет теплопроводности в дальнейшем будем учитывать при изменении внутренней энергии пласта . Перенос тепла из пласта в кровлю и подошву будем учитывать соответствующими граничными условиями и поэтому в балансе энергии элементарного объема пласта его не будем принимать во внимание. Энергия движущегося в пористой среде вещества за счет гидравлического трения превращается в тепло. Для мощности гидравлического трения, отнесенной к единице массы движущегося вещества в элементе пласта, имеем следующее выражение:

Допустим, что в пласте движется газ вязкостью со скоростью . Проницаемость пласта , пористость , плотность газа при давлении составляет 100 кг/м 3 . Тогда

В сутки из килограмма движущегося в пласте газа будет выделяться энергии. Это, конечно, незначительная величина. Однако, например, в призабойной зоне скважин скорость фильтрации того же газа может достигать м/с, а иногда и более. Тогда при тех же остальных условиях, что и выше, значение . В сутки из килограмма фильтрующегося в пласте газа выделится энергии почти 9кДж. Таким образом, можно заключить, что наиболее существенное изменение энергии в элементе пласта связано с переносом тепла за счет теплопроводности и конвекции. Определенный вклад в энергетический баланс пласта, особенно при высоких скоростях движения насыщающих его веществ, вносят работа расширения-сжатия веществ и гидравлическое трение.

Напишем уравнение сохранения энергии в пласте, учитывая теплопроводность и конвекцию, а также работу расширения- сжатия веществ и гидравлическое трение.

Рассматривая, как и при выводе уравнения неразрывности массы фильтрующегося в пласте вещества, поток внутренней энергии и энергии сжатия , а также считая, что тепло поступает в элементарный объем только за счет гидравлического трения, т. е. что , получим

Здесь - вектор суммарной скорости теплопереноса в пласте за счет теплопроводности и конвекции, - вектор скорости фильтрации. Выражение (3.26) и есть дифференциальное уравнение сохранения энергии в пласте, выведенное при указанных выше предположениях.

Уравнение и интеграл Бернулли. Решение уравнений Эйлера (1.76) приводит к одному из наиболее важных уравнений гидродинамики - уравнению Бернулли. Умножим первое из уравнений Эйлера (1.76) на dx , второе - на dy , третье - на dz , а затем почленно сложим. В результате получим

Проинтегрируем (1.108) вдоль элементарной струйки при следующих допущениях:

Рассмотрим отдельные суммы, входящие в (1.108).

Учитывая, что , , , представим сумму в левой части в виде

, (1.109)

где u - действительная полная скорость в данной точке.

На основании второго и третьего допущений проекции ускорений массовых сил на оси координат составят X=Y= 0, Z=-g. Тогда первая сумма в правой части (1.108) примет вид

Xdx+Ydy+Zdz=-gdz . (1.110)

В силу первого допущения все параметры потока, в том числе и давление, не зависят от времени и являются функциями только координат, т. е. p = p (x,y,z ). Следовательно, выражение в скобках у второго слагаемого в правой части (1.108) является полным дифференциалом давления, т. е.

. (1.111)

Подставляя (1.109), (1.110), (1.111) в (1.108) и собирая все слагаемые в левой части, получим

. (1.112)

Выражение (1.112) называют дифференциальным уравнением Бернулли.

Единица измерения членов уравнения (1.112) - Дж/кг.

Уравнение Бернулли можно представить в других видах, умножив все его члены на ρ ,

(1.113)

или разделив на g

. (1.114)

При этом единицы измерения всех членов уравнения (1.113) - Па, а (1.114) - м.

Проинтегрировав уравнения (1.112) - (1.114), получим выражения

; (1.115)

; (1.116)

. (1.117)

Уравнения (1.115)-(1.117) называются интегралом Бернулли.

Энергетический смысл интеграла Бернулли . Принимая ρ = const, в результате интегрирования уравнения (1.112) получим

Единица измерения всех членов уравнения (1.118), так же как и (1.112) - Дж/кг.

Движущаяся частичка жидкости обладает вполне определенным запасом механической энергии. Если абсолютно твердое тело обладает запасом потенциальной энергии положения в поле сил тяжести и кинетической энергией, то жидкая частичка, как упругое тело, обладает еще и запасом потенциальной энергии состояния. Эта энергия тем больше, чем больше объем жидкости и чем выше давление, и проявляется в том, что, например, нагнетание жидкости в сосуд может привести к разрушению сосуда, а сжатый газ может совершать работу при расширении.

Следовательно, полная механическая энергия жидкой частички Э может быть определена как сумма Э = П п +П с +К , где П п - потенциальная энергия положения в поле сил тяжести; П с - потенциальная энергия состояния; К - кинетическая энергия.

Потенциальная энергия положения может быть подсчитана по общей формуле механики П п =mgz , где m - масса жидкой частички, кг; z - высота ее положения над горизонтальной плоскостью отсчета, м.

Рассмотрим удельную энергию, приходящуюся на единицу массы жидкости. Удельная потенциальная энергия положения составляет и в интеграле Бернулли (1.118) представлена первым слагаемым.

Потенциальная энергия состояния вычисляется по формуле П с = pV , где p - давление, Па; V - объем жидкой частички, м 3 .

Удельная потенциальная энергия состояния в интеграле Бернулли (1.118) представлена вторым слагаемым.

Кинетическая энергия жидкой частички .

Удельная кинетическая энергия в интеграле Бернулли (1.118) представлена третьим слагаемым.

Полная механическая энергия жидкой частички определяется, следовательно, суммой , а удельная механическая энергия составит

. (1.119)

Сравнивая (1.118) и (1.119), приходим к энергетическому смыслу интеграла Бернулли: удельная механическая энергия идеальной несжимаемой жидкости остается постоянной вдоль элементарной струйки. Таким образом, интеграл Бернулли выражает собой закон сохранения механической энергии для элементарной струйки, т. е. является энергетическим уравнением.

Из интеграла Бернулли следует также вывод о том, что отдельные составляющие удельной механической энергии могут изменяться, но при этом происходит преобразование одного вида энергии в другой, т. е. уменьшение одного слагаемого обязательно должно сопровождаться увеличением хотя бы одного из двух остальных и наоборот.

Сумма членов интеграла Бернулли (1.115) дает полный запас энергии, которым обладает единица массы (e ), (1.116) - единица объема (p ), (1.117) - единица силы тяжести относительно принятой плоскости сравнения (H ).

Члены , , выражают кинетическую энергию, суммы , , - потенциальную энергию, где gz , ρgz , z - потенциальная энергия положения, а , , - потенциальная энергия состояния соответственно единицы массы, объема, единицы силы тяжести. Можно также сказать, что уравнения (1.116) и (1.117) выражают собой то же, что и уравнение (1.99), но в масштабе и соответственно.

Уравнением (1.115) удобно пользоваться при исследовании движения газа с переменной плотностью, например, в пневмосетях и компрессорах.

Если при движении газа изменения давления незначительны и температура постоянна, то можно считать ρ = const. В этих условиях удобно пользоваться уравнением (1.116), которое примет вид

const. (1.120)

Выражением (1.120) удобно пользоваться при исследовании движения воздуха в вентиляционных сетях и вентиляторах.

При движении капельной жидкости (воды, масла и т. п.), плотность которой постоянна, удобнее всего пользоваться уравнением (1.117), которое для ρ = const примет вид

Уравнение (1.121) применяется при расчетах водопроводов, гидромагистралей, насосов.

Часто употребляется иная запись уравнения (1.117). Обозначая индексом 1 параметры потока в первом по ходу движения жидкости сечении струйки, а индексом 2 - в последующем, можем записать

Геометрический смысл уравнения Бернулли. Все слагаемые уравнения (1.122) имеют размерность длины, поэтому можно говорить о геометрическом смысле уравнения Бернулли: z - геометрическая (геодезическая, нивелирная) высота; - пьезометрическая высота; - скоростная (динамическая) высота; - высота потерь энергии (напора).

Приведем иные названия: z - геометрический напор; - пьезометрический напор; - скоростной напор; - потеря напора; - полный напор.

Рассмотрим поток жидкости в канале, измеряя все слагаемые уравнения Бернулли (1.122) в различных сечениях (Рис. 1.30, показаны замеры лишь для двух сечений 1-1 и 2-2 ). За плоскость отсчета примем произвольную горизонтальную плоскость 0-0 .

Геометрические высоты z легко определяются как расстояние по вертикали от плоскости отсчета до центров тяжести соответствующих сечений. Пьезометрические высоты определяются как высоты поднятия жидкости в пьезометрах, отсчитанные по вертикали от центров тяжести соответствующих сечений. Скоростные высоты определяются как разности уровней жидкости в трубках Пито и пьезометрах, помещенных в соответствующие сечения (необходимо отметить, что для точного измерения величины трубку Пито следует помещать в такую точку сечения, где локальная скорость u равна средней скорости v , что не всегда можно сделать, ибо положение этой точки редко известно).

Высота потерь энергии на участке, ограниченном сечениями 1-1 и 2-2 , определится как разность уровней жидкости в трубках Пито, помещенных в эти сечения.

Если аналогичные измерения выполнить для множества промежуточных сечений и соединить плавной линией верхние мениски жидкости в трубках Пито, то мы получим линию a линией полного напора .

Соединяя плавной линией верхние мениски жидкости в пьезометрах мы получим линию b (см. Рис. 1.30), которую называют пьезометрической линией .

Линию, соединяющую центры тяжести сечений, называют осью потока .

Характер поведения этих линий по длине потока l определяется так называемыми уклонами.

Гидравлическим уклоном называют величину

, (1.123)

определяющую поведение линии полного напора.

Пьезометрический уклон

, (1.124)

определяет поведение пьезометрической линии.

Геометрический (геодезический) уклон

характеризует поведение оси потока.

В практических расчетах чаще используются средние значения уклонов, вычисляемые как отношение разностей соответствующих величин в начале и конце к длине потока.

Так как вдоль по потоку полная энергия его за счет потерь непрерывно уменьшается, то линия полного напора всегда понижается. Гидравлический уклон (1.124) всегда остается положительным.

Пьезометрическая линия может и понижаться, и повышаться. Ее поведение зависит как от потерь напора, так и от характера изменения кинетической энергии. При расширении канала скорость потока и скоростной напор уменьшаются. Если скорость уменьшения скоростного напора окажется выше, чем скорость уменьшения полного напора, то пьезометрическая линия будет подниматься.

Диаграммы напоров. В ряде задач гидравлики целесообразно бывает дать графическое изображение уравнения Бернулли для того или иного канала. Такие графики называют диаграммами напора. Они позволяют очень наглядно анализировать поведение каждого слагаемого в уравнении Бернулли при течении жидкости по каналу. С их помощью удобно также производить некоторые числовые расчеты. Обычно диаграммы строят по результатам конкретных расчетов, откладывая в масштабе для каждого сечения значения напоров. Рассмотрим принцип построения диаграммы.

Рис. 1.31. Диаграмма напоров

Пусть из открытого сосуда больших размеров жидкость вытекает в атмосферу по трубе переменного сечения (Рис. 1.31). Выберем в качестве плоскости отсчета произвольную горизонтальную плоскость 0-0. Построение диаграммы начнем с линии полного напора.

Для этого определим полный напор в сечении, совпадающем со свободной поверхностью жидкости в сосуде. Условимся в уравнении Бернулли и при построении пользоваться избыточными давлениями. Тогда на свободной поверхности .

Так как площадь сосуда значительно превосходит площадь сечения трубы, то в соответствии с уравнением расхода скорость жидкости в сосуде будет очень мала по сравнению со скоростью в трубе, а следовательно, можно пренебречь скоростным напором .

Таким образом, полный напор определяется лишь геометрическим напором (на диаграмме он отмечен точкой a ). Полные напоры в последующих сечениях будем оценивать как разность полного напора в предыдущем сечении и потерь напора на участке между этими сечениями

. (1.126)

Забегая несколько вперед, отметим, что различают два вида потерь напора: потери на трение, обусловленные вязкостью жидкости и местные потери, обусловленные резким изменением конфигурации потока, которые в отличие от потерь на трение (путевых) принято считать сосредоточенными в одном сечении потока. Потери на трение тем больше, чем больше длина канала и скорость потока и чем меньше сечение (диаметр) канала.

В сечении 1-1 сразу за входом потока из сосуда в трубу полный напор будет меньше напора в сосуде на величину местных потерь входа. Вычитая из полного напора в сосуде (точка a ) потери входа h 1 , получим точку b , определяющую полный напор в сечении 1-1.

На участке трубы между сечениями 1-1 и 2-2 будут происходить потери напора на трение. Так как труба на этом участке имеет постоянное сечение, то везде на единицу длины приходятся одинаковые потери, т. е. график полного напора будет иметь линейный характер. Вычитая из полного напора в сечении 1-1 величину потерь напора на трение на участке h 2 , получим полный напор в сечении 2-2 (точка с ). Соединив точки b и с прямой линией, получим график полного напора для первого участка трубы.

По аналогии с входом в трубу, вычитая из полного напора в сечении 2-2 (точка с ) местные потери при внезапном расширении потока h 3 , получим полный напор в сечении 3-3 за внезапным расширением (точка d ), вычитая из которого потери на трение на втором участке трубы h 4 , получим полный напор в выходном сечении 4-4 (точка е ).

При соединении точек d и е необходимо учесть, что потери на трение на единицу длины (гидравлический уклон) в начале участка (большие диаметры) будут меньше, чем в конце (малые диаметры). Следовательно, линия полного напора будет направлена выпуклостью вверх. Таким образом, получили линию полного напора abcde .

Перейдем теперь к построению пьезометрической линии. С этой целью из полного напора в каждом сечении будем вычитать скоростной напор, т. к.

. (1.127)

На свободной поверхности жидкости в сосуде скоростной напор равен нулю и пьезометрический напор совпадает с полным (точка а ).

На участке между сечениями 1-1 и 2-2 сечение трубы, скорость и скоростной напор остаются постоянными, и пьезометрическая линия () будет параллельна линии полного напора.

При переходе от сечения 2-2 к сечению 3-3 происходит резкое увеличение сечения, сопровождающееся уменьшением скорости и скоростного напора. Поэтому пьезометрический напор в сечении 3-3 определиться вычитанием из полного напора значительно меньшей величины (отрезок ), чем для сечения 2-2 (отрезок ).

На втором участке трубы сечение постепенно уменьшается, что приводит к постепенному возрастанию скорости и скоростного напора. Следовательно, в каждом последующем сечении из полного напора необходимо вычитать все большую и большую величину. Поэтому пьезометрическая линия непрерывно удаляется от линии полного напора. Заканчивается пьезометрическая линия в точке , совпадающей с центром тяжести выходного сечения 4-4. Это объясняется тем, что в выходном сечении снова действует атмосферное давление и пьезометрический напор по избыточному давлению равен нулю. Полный же напор складывается из геометрического и скоростного.

По аналогии с построением диаграммы напора по заданному профилю потока возможно решение и обратной задачи: построение конфигурации трубопровода по заданным диаграммам напора.

Примеры практического использования уравнения Бернулли . Уравнение Бернулли позволяет получить расчетные формулы для различных случаев движения жидкости и решить многие практические задачи. При этом следует иметь в виду, что оно справедливо только для установившихся потоков с плоскими живыми сечениями.

Для практического использования уравнения Бернулли при решении различных задач проводят два сечения и горизонтальную плоскость - плоскость сравнения. Последнюю, чтобы было меньше неизвестных, проводят через центр тяжести одного или, если это возможно, двух сечений, и тогда z 1 или z 2 (или оба) будут равны нулю. Сечения проводят нормально к направлению движения жидкости, а места их проведения выбирают так, чтобы сечения были плоскими, содержали неизвестные величины, подлежащие определению, и достаточное число известных величин. Обычно такими местами являются свободная поверхность жидкости, вход или выход из трубопровода, места подключения измерительных приборов и пр. Далее для выбранных сечений, которые нумеруются по ходу движения жидкости, записывается уравнение Бернулли, подставляются в него числовые значения величин и вычисляются искомые.

При решении некоторых задач приходится дополнительно использовать условие неразрывности (сплошности) течения и брать более двух сечений.

В уравнение Бернулли подставляются абсолютные давления. Покажем это на простейшем примере (Рис. 1.32). Пусть требуется определить скорость истечения жидкости из резервуара через отверстие в стенке при постоянном напоре (уровень жидкости в резервуаре постоянен).

Проводим сечение 1-1 по уровню жидкости в резервуаре и сечение 2-2 на выходе струи из отверстия. Проводим произвольную горизонтальную плоскость сравнения x0y . Известными величинами являются z 1 , z 2 (z 1 -z 2 = h ), p 1 = p 2 = p a (резервуар открыт и истечение происходит в атмосферу). Тогда, пренебрегая незначительными потерями напора при выходе струи из отверстия и принимая коэффициент a = 1, из уравнения (1.122) находим .

Измерение давлений и локальных скоростей. Покоящаяся жидкость не обладает кинетической энергией. Тогда интеграл Бернулли (1.118) примет вид

Обозначив давление на свободной поверхности жидкости p 0 , а ее координату z 0 (Рис. 1.33), уравнению (1.128) можем придать вид

Или . (1.129)

Обозначив глубину погружения точки (например, А ) под свободной поверхностью жидкости через h = z 0 - z , придадим (1.129) вид .

Последнее является основным уравнением гидростатики (1.26) и было получено ранее решением дифференциальных уравнений равновесия Эйлера.

Введем в точку В (Рис. 1.33) закрытый пьезометр , представляющий собой стеклянную трубку с запаянным верхним концом из которой удален воздух. Под действием давления в точке В жидкость поднимается на некоторую высоту h’ . Для ее вычисления запишем (1.26) для покоящейся жидкости в пьезометре. Так как из него удален воздух, то над жидкостью давление будет равно нулю.

Таким образом, высота поднятия жидкости в пьезометре в некотором масштабе (1:g ) определяет удельную потенциальную энергию состояния жидкости, а выражение (1.131) можно использовать для расчета давления, измеренного с помощью пьезометра. Формула (1.131) определяет способ пересчета давлений, выраженных высотой столба жидкости, в размерные единицы.

Так как (1.26) получена на основании (1.130), то легко видеть, что в какую бы точку данной покоящейся жидкости мы ни помещали пьезометр, сумма координаты z этой точки и высоты подъема жидкости в пьезометре остается постоянной, т. е. верхний мениск жидкости в пьезометре всегда будет находиться на одном и том же уровне. Горизонтальную плоскость a-a (Рис. 1.33), проведенную через верхние мениски жидкости в пьезометрах, называют напорной плоскостью , построенной по абсолютному давлению.

Закрытый пьезометр, как видим, измеряет абсолютное давление в жидкости. Избыточное давление можно измерить с помощью открытого пьезометра , представляющего собой стеклянную трубку, открытую с обоих концов.

Поместим открытый пьезометр (см. Рис. 1.33) в точку , расположенную на той же глубине под свободной поверхностью, что и точка В . Из (1.26) видно, что давления в точках и В будут одинаковы.

Над свободной поверхностью жидкости в пьезометре будет действовать атмосферное давление, поэтому на основании (1.26) можем написать , откуда

, (1.132)

т. е. высота поднятия жидкости в открытом пьезометре в масштабе (1:g ) измеряет ту же удельную потенциальную энергию состояния жидкости, но определенную по избыточному давлению.

Сказанное выше об уровнях жидкости в закрытых пьезометрах справедливо и для открытых, с той лишь разницей, что напорная плоскость по избыточному давлению (см. Рис. 1.33), проведенная через верхние мениски жидкости в открытых пьезометрах, будет расположена ниже плоскости a-a на высоту , в чем нетрудно убедиться с помощью (1.132) и (1.133).

Для измерения локальных скоростей в закрытых каналах, движение жидкости в которых называют напорным, используется трубка Пито-Прандтля, представляющая собой комбинацию трубки Пито и пьезометра (Рис. 1.34), которые обычно объединяются в одну конструкцию.

Трубка Пито-Прандтля вводится в поток таким образом, чтобы открытый конец трубки Пито был направлен перпендикулярно к вектору скорости, а открытый конец пьезометра - по касательной.

Как и в предыдущем случае, для трубки Пито справедливо условие

, (1.133)

только высота h и имеют здесь иной смысл (см. Рис. 1.34).

Поскольку жидкость проскальзывает около входного сечения пьезометра не затормаживаясь, то в нем будет действовать такое же давление, как и в движущейся жидкости, т. е. . Для него на основании (1.70) можем написать (т. к. на свободной поверхности жидкости в пьезометре действует атмосферное давление, как и в трубке Пито) уравнение

но в данном случае представляет собой высоту поднятия жидкости в пьезометре.

Выражение (1.134), справедливое и в рассматриваемом случае, после подстановки и приведет опять-таки к (1.135), а для практических расчетов необходимо писать

где с = 1,01…1,05; h - разность уровней жидкости в трубке Пито и пьезометре.

Измерение расхода. Трубка Пито-Прандтля служит для измерения локальных скоростей движения. В том случае, если известно живое сечение потока, расход может быть рассчитан по уравнению (1.26). Существуют приборы для непосредственного измерения расхода. Большое распространение в практике нашли расходомер Вентури и нормальная диафрагма (шайба).

Расходомер Вентури. Большим преимуществом этого прибора является простота конструкции и отсутствие каких-либо движущихся частей. Он может быть расположен горизонтально, вертикально и под любым углом, что принципиального значения не имеет. Рассмотрим расходомер с горизонтальной осью (Рис. 1.35).

Он состоит из двух цилиндрических труб А и В диаметром d 1 , соединенных посредством двух конических участков (патрубков) C и D с цилиндрической вставкой Е меньшего диаметра d 2 . В сечениях 1-1 и 2-2 к расходомеру присоединены пьезометры а и b , разность уровней жидкости в которых показывает разность давлений в этих сечениях.

Составляя уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 и пренебрегая очень небольшими на малой длине между этими сечениями потерями, получаем

, (1.136)

откуда , но и, следовательно, .